Problemas y desafíos matemáticos

1) ¿Qué es mejor: cinco de diez o uno de diez?
Corría diciembre de 2007 cuando estábamos grabando el programa Alterados por PI en el Canal Encuentro. El entrevistado era Pablo Amster. Hablábamos de sus libros, de su pasión por la guitarra, por las ecuaciones diferenciales? y, por algún motivo que no puedo recordar, me hizo la siguiente pregunta: -Si uno tuviera que tomar una decisión (por sí o por no? sin posibilidades intermedias) y tiene la alternativa de consultar a una de dos personas, de las cuales sabe que una acierta cinco de cada diez veces que se le pregunta algo, mientras que la otra sólo acierta una de cada diez veces? ¿qué le conviene hacer? Antes de que pudiera contestarle (y no sé si lo hubiera hecho bien), se quedó mirándome por un instante y me dio la respuesta. Usted, ¿qué haría? (Vale la pena que piense antes de tomar una decisión.)

2) Problemas gödelianos
Le propongo un desafío que podría sintetizarse en la pregunta: usted, ¿qué diría? Supongamos que pongo sobre una mesa dos objetos:
a) Una moneda de un peso.
b) Un televisor plasma de última generación.

Entonces, el desafío (sí, a usted que está leyendo) es este: lo invito a que piense y haga una afirmación cualquiera. De lo que usted afirme dependerá lo que yo haga con la moneda y/o con el televisor. Si la frase que me dice es "verdadera", entonces le prometo que le doy alguna de las cosas que están sobre la mesa, pero no le digo cuál de las dos. En cambio, si lo que me dice es falso, entonces no le doy nada. Ese es el planteo del problema. Sencillo y fácil de entender.

Las preguntas que surgen son las siguientes (al menos, las que se me ocurren a mí):
a) ¿Habrá alguna afirmación que usted pueda hacer que me obligue a darle el televisor? O sea, ¿existirá tal frase?
b) Si la respuesta fuera sí, ¿cuál es? Es decir, ¿qué podría decir usted de manera tal que, para que yo pueda mantener mi palabra, no me quede más remedio que darle el televisor?
Antes de dejarlo pensando, le comento que, como siempre, no hay trampas, no hay nada escondido. Se trata de un problema de lógica. Nada más. Nada menos.

3) Cuatro cachorros y la revista Parade
La revista Parade fue fundada en 1941. Se publica en Nueva York y se encuentra entre los diarios más importantes de los Estados Unidos ("Boston Globe", "Los Angeles Times", "Houston Chronicle", "San Francisco Chronicle", "New York Post", "The Philadelphia Inquirer", "Chicago Tribune", por poner sólo algunos ejemplos). Cada domingo, la tirada es de 32 millones de ejemplares. Se calcula que la leen alrededor de 71 millones de personas, de las cuales el 52% son mujeres y el 48% son hombres (datos que provee la editorial que la publica, al 10 de junio de 2008). Hace casi once años, el 10 de agosto de 1997, los editores de la revista vieron una oportunidad para hacer una pregunta sobre probabilidades que, supusieron, podía interesar a los lectores. La respuesta fue increíble, sobre todo porque la mayoría no estaba de acuerdo con la respuesta. La persona que se dedicaba (y se dedica aún) a hacer los planteos (y a responderlos) es la famosa Marilyn vos Savant (nacida en St. Louis, Estados Unidos, en agosto de 1946). Y digo famosa porque se dice que Marilyn es la mujer con más alto IQ (o coeficiente intelectual) y por esa razón apareció en el libro Guinness de récords. Yo no creo en los IQ ni en los coeficientes intelectuales, y menos en las comparaciones que de ellos pudieran surgir, pero independientemente de eso, quiero reproducir el problema que se publicó en la revista e invitarlo a pensar su solución. El planteo es muy sencillo (y la solución, aunque sorprendente, también). Supongamos que una perra da a luz 4 cachorros. Van saliendo de a uno por vez. ¿Es más probable que nazcan 2 machos y 2 hembras, o que salgan 3 de un sexo y 1 del otro? Ahora (como siempre), le toca a usted.

1) ¿Qué es mejor: cinco de diez o uno de diez?
Sería más conveniente preguntarle al que acierta sólo una vez de cada diez. ¿Por qué? Porque si esta persona sólo acierta una de cada diez veces, basta con escuchar lo que diga? ¡y hacer lo contrario!
Eso significa que uno no se va a equivocar en nueve de cada diez veces. Parece simple (porque lo es), pero es un muy lindo ejercicio de lógica.

2) Problemas gödelianos
La primera respuesta es: sí, esa afirmación existe. De hecho, sospecho que debe haber varias frases que funcionen, en el sentido de que me obliguen a tener que darle el televisor. Le voy a proponer una, pero no creo que sea la única. En todo caso, si a usted se le ocurrió otra, compárela con la que figura acá abajo y fíjese si tienen algo en común. Supongamos que usted me dice: "Usted no me va a dar la moneda de un peso". Ahora, pensemos juntos. Su afirmación no puede ser falsa, porque si lo fuera querría decir que yo SI le voy a dar la moneda. Pero de acuerdo con las reglas que yo mismo establecí, si su frase es falsa, no le doy nada. O sea que, para que yo considere darle algo, lo primero que tiene que pasar es que lo que usted me diga tiene que ser verdadero. Luego, su frase no puede ser falsa. Entonces, su afirmación tiene que ser verdadera. Por lo tanto, yo tengo que darle o bien la moneda, o bien el televisor. Pero como acabamos de ver que su frase es verdadera, eso implica dos cosas:
a) Yo tengo que darle algo (porque lo que usted dijo es cierto).
b) No puedo darle la moneda porque, si no, su frase sería falsa.
Luego, no me queda más remedio que ¡darle el televisor!

El aporte de Kurt Gödel
Este tipo de situaciones se conocen como "problemas gödelianos" o "problemas de Gödel", en honor a uno de los más famosos lógicos de la historia, el austrohúngaro Kurt Gödel (1906-1978), quien se dedicó a la matemática, y dentro de ella, a la lógica, y se especializó en filosofía.
Gödel (foto), uno de los grandes científicos del siglo XX, revolucionó lo que se pensaba en esa época (1931), cuando demostró que la apuesta que hacían varios pensadores respecto de que todos los fundamentos de la matemática se podían demostrar desde la lógica y la Teoría de Conjuntos era falsa. De hecho, con la demostración de su famoso Primer Teorema de Incompletitud (cuando sólo tenía 25 años), sorprendió a gente del prestigio de Bertrand Russell y David Hilbert (entre otros), quienes estaban convencidos de que a partir de un grupo de axiomas se podía demostrar toda la matemática. Gödel probó que eso no era posible.
Hasta principios de la década de 1930, se suponía que de toda afirmación que se hiciera dentro de la matemática se podía probar, mediante el uso de la lógica, que o bien era cierta, o bien era falsa. Kurt Gödel demostró, justamente en 1931, que había "verdades" que estaban más allá de la lógica, verdades que la lógica "sola" no podía comprobar.
El Teorema de Incompletitud de Gödel dice que la verdad de algunas afirmaciones matemáticas no se puede comprobar dentro de su propio universo lógico. Es decir, lo que hace falta es "mirarlas desde afuera (de ese universo)", para decidir sobre su veracidad. Supongamos que yo digo: "Esta frase no es cierta". Si fuera cierta, entonces, querría decir que es falsa. Pero, si es falsa? ¿puede ser cierta? Al final, es como tratar de "morderse la cola", moviéndose en círculo. La realidad es que no hay una manera lógica de demostrar si es cierta o falsa, porque la frase "habla de sí misma".
Como usted se imagina, lo que antecede es una primerísima aproximación a lo que hizo Gödel y lo que significó su decisivo aporte en el siglo pasado. Y, una vez más, también es "hacer" matemática.

3) Cuatro cachorros y la revista Parade
En principio, uno tiene la tentación de decir que lo más probable es que nazcan 2 de cada uno (de los sexos). Sin embargo, acompáñeme en esta observación. ¿Cuáles son todas las alternativas en las que la perra parió a sus crías? Voy a usar la letra M para macho y la H para hembra. Entonces, todas las posibles distribuciones son (teniendo en cuenta "el orden de aparición"):

Y no hay más. Ahora, cuente conmigo. ¿Cuántas combinaciones posibles de 2 y 2 hay? Son las que aparecen con los números 4, 6, 7, 10, 11, 13

En total suman 6
Por otro lado, las que ofrecen 3 de un sexo y 1 del otro, son las que tienen los números: 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14 y 15. O sea, estas suman 8. (Las dos restantes, como era esperable, corresponden a los casos en que nacieron 4 machos o 4 hembras).
Pero lo importante es notar que, para calcular la probabilidad de que nazcan 2 y 2, hay 6 casos sobre 16 posibles: 6/16 = 3/8 = 0,375.
En cambio, la probabilidad de que nazcan 3 de un sexo y 1 del otro son 8 sobre 16 posibles: 8/16 = 1/2 = 0,5.
Moraleja: aunque parezca que atenta contra la intuición, la probabilidad de que haya 3 cachorros de un sexo y 1 del otro es bastante mayor que cualquiera de las otras dos alternativas. Esto generó una gran discusión que, obviamente, significó que los editores de la revista Parade decidieran que esa columna no faltara en ninguna de las ediciones dominicales.

1) M - M - M - M
2) M - M - M - H
3) M - M - H - M
4) M - M - H - H
5) M - H - M - M
6) M - H - M - H
7) M - H - H - M
8) M - H - H - H
9) H - M - M - M
10) H - M - M - H
11) H - M - H - M
12) H - M - H - H
13) H - H - M - M
14) H - H - M - H
15) H - H - H - M
16) H - H - H - H